*** Marche aléatoire

On place un pion au point d'abscisse ​0 d'une droite graduée.
Soit \(p\in[0;1]\) . D'une étape à l'autre, le pion se déplace d'un cran à droite avec une probabilité  \(p\)  et d'un cran à gauche avec une probabilité \(1-p\) .
On suppose que ces déplacements sont tous indépendants.

Pour tout entier naturel non nul  \(n\) , on note  \(X_n\)  la variable aléatoire qui vaut 1 si le  \(n\) -ième déplacement du pion est un déplacement vers la droite et qui vaut  \(-1\)  sinon.

On note par ailleurs  \(Y_n\)  la position de ce pion après  \(n\)  déplacements.

1. Exprimer, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(Y_n\)  en fonction de  \(X_1\) , ...,  \(X_n\) .

2. Déterminer les lois  de  \(Y_1\)  et de  \(Y_2\) .

3. Justifier que, pour tout entier naturel  \(n\) , les valeurs prises par la variable aléatoire  \(Y_n\)  sont les nombres entiers compris entre  \(-n\)  et  \(n\)  (ces deux valeurs incluses) et de même parité que  \(n\) .

4. a. Vérifier que, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(\dfrac{X_n+1}{2}\)  suit une loi de Bernoulli de paramètre  \(p\) .
    b. En déduire la loi de  \(\dfrac{Y_n+n}{2}\) .
    c. Déterminer la probabilité qu'après  \(n\)  étapes, le pion se situe à son point de départ.