*** Marche aléatoire

On place un pion au point d'abscisse ​0 d'une droite graduée.
Soit $p\in [0;1]$ . D'une étape à l'autre, le pion se déplace d'un cran à droite avec une probabilité  $p$  et d'un cran à gauche avec une probabilité $1-p$ .
On suppose que ces déplacements sont tous indépendants.

Pour tout entier naturel non nul  $n$ , on note  $X_n$  la variable aléatoire qui vaut 1 si le  $n$ -ième déplacement du pion est un déplacement vers la droite et qui vaut  $-1$  sinon.

On note par ailleurs  $Y_n$  la position de ce pion après  $n$  déplacements.

1. Exprimer, pour tout entier naturel  $n$ ,  $Y_n$  en fonction de  $X_1$ , ...,  $X_n$ .

2. Déterminer les lois  de  $Y_1$  et de  $Y_2$ .

3. Justifier que, pour tout entier naturel  $n$ , les valeurs prises par la variable aléatoire  $Y_n$  sont les nombres entiers compris entre  $-n$  et  $n$  (ces deux valeurs incluses) et de même parité que  $n$ .

4. a. Vérifier que, pour tout entier naturel  $n$ ,  ${\displaystyle \frac{X_n+1}{2}}$  suit une loi de Bernoulli de paramètre  $p$ .
    b. En déduire la loi de  ${\displaystyle \frac{Y_n+n}{2}}$ .
    c. Déterminer la probabilité qu'après  $n$  étapes, le pion se situe à son point de départ.